48- Examen mécanique quantique MPII juin 1988 Kénitra

Examen session de rattrapage

L'examen porte en particulier d'une particule qui traverse un potentiel nul pour x < 0 et égale à V0 pour x > 0. On déterminera les coefficients de réflexion et de transmission à travers la barrière et on montrera que la probabilité de trouver la particule dans la région II n'est pas constamment nulle.

N.B: L'université Ibn Tofaïl était une succursale de l'Université Mohammed V de Rabat en 1988.

Corrigé

Exercice 1

1) Le bra de |φ> s'écrit: <φ| = Σα_i*<u_i|
Le produit scalaire de |φ> et |ψ> est donnée par:

<φ|ψ> = ΣΣα_i*β_j<u_i|u_i> =  ΣΣα_i*β_j = δ_ij

_{On somme sur j, d'après le symbole de Kroneker, la somme n'est pas nulle pour i = j.
D'où:}

_{<φ|ψ> = Σαi*βi}

2) <φ|φ> = Σα_i*α_i

3)<φ|A|ψ> = ΣΣα_i*β_jA_ij


Exercice 2

A- E > V₀ 
1) Le potentiel ne dépend pas du temps, les états sont donc stationnaires. L'équation de Schrödinger s'écrit alors sous la forme:

(ℏ² /2m)d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)

Nous avons deux régions telles que:

* région I: V = 0;  d²ψ₁(x)/dx² + (2m/ℏ² )Eψ₁(x) = 0       (1)

* région II: V = V₀  ;  d²ψ₁(x)/dx² + (2m/ℏ² )(E - V₀)ψ₁(x) = 0      (2)

2) Les solutions sont de la forme:

ψ₁(x) = a₁e^iK1x + b₁e^-iK1x
ψ₂(x) = a₂e^iK2x 

3) On trouve, en écrivant les conditions de continuité à la frontière

a₁ = 1b₁ = (K1 - K2)/(K1 + K2)
a₅ = 2K1/(K1 + K2)

Les coefficients de réflexion et de transmission:

R = (K1 - K2)²/(K1 + K2)²

T = 1 - R = 4K1K2/(K1 + K2)²

4) 

R = [(1 - √(1 - V₀/E)/(1 + √(1 - V₀/E)]²

T = 4√(1 - V₀/E)/(1 + √(1 - V₀/E)²

Pour E = 2V₀ 

R = 97 % et T = 3 %


B- E < V₀ 

1) Dans ce cas K2 est imaginaire pur, on trouve:

ψ₂(x) = a₂e^-Kx 

La densité de probabilité de trouver la particule dans la région II est donnée par:

|ψ₂(x)|² = a₂²e^-K√(2m(V0 - E)x

2) La probabilité de trouver la particule dans la région n'est pas nulle, mais elle diminue rapidement lorsque x augmente.