47- Examen mécanique quantique MPII mai 2004

Examen de Mécanique Quantique MPII

Session normale Mai 2004

Corrigé

Partie I

1) Une onde de Louis de Broglie est l'onde solution la plus simple de l'équation de Schrödinger décrivant le mouvement d'une particule libre.

Elle est de la forme:

ψ(x) = Ae^{-i(ωt - Kx)} 

pour une propagation suivant l'axe des x.

2) ECOC signifie ensemble complet d'observables qui commutent. 

* Observable: opérateur hérmitique dont les vecteurs propres constituent une base de l'espace des états.

* Commutent: les observables commutent deux à deux. Si A et B commutent, le commutateur [A, B] = 0.

* Complet: il existe une base unique constituée de vecteurs propres communs aux observables de l'ensemble.

Partie II

1) L'équation de Schrödinger s'écrit:

d2φ(x)/dx² + c²φ(x) = 0

avec:

c² = 2m(E - V(x))/h\² 

Les solutions sont de la forme:

φ(x) = αe^iKx + βe^-iKx

- dans la région I:  φ_I(x) = 0
- dans la région II:  φ_II(x) = Ae^iKx + Be^-iKx
- dans la région III:  φ_III(x) = Ee^-qx

2) Les conditions de continuité donnent:

KcotgKL = -q

3) On obtient les équations suivantes:

K²  + q² = 2mV₀/h\² = K₀²

|sinKa| = K/K₀       (*)

tgKa < 0       (**)

Les niveaux d'énergie sont obtenus par l'intersection des fonction (*) et (**).