7-Exercices division amplitude

I- Lame à faces parallèles (Examen PCII Kénitra, Mai 1995) 

 Dans ce problème, on s’intéresse aux phénomènes d’interférences par réflexion donnés par une lame à faces parallèles d’indice n = 3/2 et d’épaisseur e. On rappelle qu’une réflexion sur un milieu plus réfringent introduit un déphasage égal à π. La lame est éclairée par une source de longueur d’onde λ0 = 0,720 μm dans le vide par l’intermédiaire d’un miroir semi-transparent M. Un rayon incident AI donne naissance aux différents rayons représentés sur la figure 1. 

 Fig. 1

 1) Montrer que les surfaces d’égale différence de phase sont des anneaux localisés à l’infini.
2) On recueille les rayons réfléchis à l’aide d’une lentille mince de distance focale f = 1 m et on observe les anneaux dans le plan focal de celle-ci. Sachant que le rayon du premier anneau brillant est 8 mm, calculer l'épaisseur de la lame si le centre est supposé sombre. 


Corrigé 

1) Il s'agit d'interférence par division d'amplitude par une lame à faces parallèles d'indice n et d'épaisseur e. La différence de marche (ddm) est:

δ = 2necosr + λ0/2

Les surfaces d'égale différence de phase sont telles que:

Φ = 2πδ/λ0= constante

ou si la ddm est constante, ou r = constante.

Puisque incidence faible: i # nr = conste Ce sont des franges d'égale inclinaison ou anneaux localisés à l'infini. On les ramène à distance finie dans le plan focale de la lentille L.

2) L'ordre d'interférence en un point d'un anneau est:

p = 2necosr/λ0 + 1/2

λ0/2 : ddm supplémentaire due à la réflexion vitreuse en I.
p peut s'écrire au voisinage de l'incidence normale (i # 0): p = 2ne/λ0 + ner2/λ0 + 1/2
Au centre F': p0 = 2ne/λ0 + 1/2 = k + 1/2 (centre sombre)
L'ordre du premier anneau brillant: p1 = k soit p0 - p1 = 1/2
Le rayon d'un anneau d'après la figure: ρ = fi et i2= (nλ0/e)(p0 - p)
Le rayon du du 1ier anneau brillant: ρ1 = f(nλ0/e)1/2(1/2)1/2
A.N: on donne ρ1 = 8 mm ; d'où e = 8,4 mm.

 

II- Dispositif de Newton (Examen PCII Kénitra, Juin 1988) 

On considère une lame d’air comprise entre une lentille plan-convexe L, de rayon de courbure R = 2 m et un plan de verre P; L et P étant en contact optique parfait au centre O de la lentille. On éclaire ce système à l’aide d’une source monochromatique étendue, de longueur d’onde λ0 = 0,59 μm dans le vide, sous une incidence voisine de la normale. 

1) Étudier le phénomène d’interférence que l’on obtient en regardant la lame par réflexion. Montrer que l’on obtient un système d’anneaux. 

2) Préciser la nature de la frange centrale et calculer les rayons des deux premiers anneaux sombres. 3) Montrer qu’en regardant la lame par transmission, on obtient un phénomène d’interférence complémentaire de celui obtenu par réflexion. 

 Corrigé 

1) Il s'agit d'interférence par division d'amplitude par une lame d'air (n=1).
La différence de marche (ddm) est:

δ = 2e + λ0/2 (incidence normale i = 0 = r)

Les franges sont telle que l'épaisseur est constante: e = conste En raison de la symétrie du dispositif, ce sont des anneaux.



2) La frange centrale e = 0 correspond à l'ordre d'interférence p0 = 1/2; elle est sombre.

 Fig. 2

D'après la figure 2, R2 = ρ2 + HA2 = ρ2 +(R - e)2= ρ2 + R2 -2Re + e2 Or e2 << R2 ;
d'où le rayon de l'anneau correspondant à l'épaisseur e: ρ = (2Re )1/2
L'ordre du kième anneau sombre: pk = k + 1/2 = 2ek /λ0 + 1/2
D'où l'épaisseur e k = kλ0 /2
et le rayon du kième anneau sombre: ρk = (kR λ0 )1/2
A.N: ρ 1 = 1,08 mm ; ρ2 = 1,53 mm

3) Par transmission, l'ordre d'interférence s'écrit: pt = 2e/λ0
La relation liant pt à p par réflexion est: p = pt +1/2
Ainsi à une frange sombre par réflexion (p = k + 1/2) correspond une frange brillante par transmission(pt = k).