6-Exercices division du front

Miroirs de Fresnel

Une fente lumineuse F monochromatique est disposée parallèlement à l'arête commune I de deux miroirs de Fresnel M 1 et M 2 à la distance d = 40 cm de celle-ci . Les deux miroirs font entre eux un angle dont le supplément est petit et égal à θ = 5,9 x 10-3 rad.
1) Dessiner le champ d'interférence dans un plan de section droite; on négligera la diffraction. Préciser le lieu de la frange centrale.
2) On place un écran perpendiculairement à la direction moyenne des rayons lumineux qui interfèrent et à la distance L = 2m de I. La distance sur cet écran entre la frange centrale et la troisième frange sombre etant égale à 0,75 mm, calculer la longueur d'onde λ de la lumière utilisée. 

Corrigé 

1) Sur la figure suivante, F1 et F2 sont les images de F par rapport aux miroirs. Lorsqu'un miroir tourne de θ, l'image tourne de 2θ, ainsi l'angle F1IF2 = 2θ.
La différence de marche optique:

δ = ax/D 

La frange centrale correspond à δ = 0, soit en x = 0.

2) a = F2F1 = 2θd; D = d + L

δ = ax/D = 2θdx/(d + L) 

Les franges brillantes sont telles que δ = kλ; la frange centrale est donc brillante (k = 0).
Les franges sombres sont telles que δ = (k + 1/2)λ.
L'abscisse d'une frange brillante:

xk = kλD/a  

d'où l'interfrange :

i = λD/a = λ(d + L)/2θd 

On donne la distance x = 0,75 mm entre la frange centrale (brillante) et la 3ème frange sombre:
x = 2,5i
d'où

λ = 2θdi/(d + L) = 0,59 μm.

II- Fentes d'Young (Examen SMPS3 Kénitra: Février 2006)

On réalise, dans le vide, l’expérience des fentes d’Young; les fentes étant vues depuis la frange centrale sous un angle θ = 0,5 x 10-3 rad. On pose : x = M0M, M étant un point de l’écran d’observation E, voisin de l’origine des abscisses M0.
1) La source S est un laser He-Ne émettant une radiation d’intensité I0 et de longueur d’onde λ0 = 0,632 μm. 
a- Montrer que l’intensité résultante en M peut s’écrire sous la forme:

I(p) = I0f(p)

f étant une fonction sinusoïdale dont on déterminera l’expression ; p étant l’ordre d’interférence en M. 
b- Déterminer la distance x5 entre cinq franges noires successives. 
c- Les franges sont-elles visibles pour un observateur regardant E à la distance d = 25 cm et dont le pouvoir séparateur de son œil est α = 1,2 x 10-3 rad ?
2) La source S est remplacée par une diode laser de longueur d’onde λ. La distance entre cinq franges noires successives devient x5’ = 5,4 mm. Déterminer λ.
3) On remplace la diode laser par une lampe de mercure émettant deux radiations de longueurs d’onde : λ1 = 0,432 μm et λ2 = 0,576 μm. Pour quelles valeurs des ordres d’interférence p1 et p2 observe-t-on la première coïncidence des deux systèmes de franges.
4) La source émet maintenant une lumière blanche. Décrire le phénomène d’interférence observé sur l’écran E. b- On retire l’écran E et on regarde les franges à travers un spectroscope placé à un distance x = 4 mm de M0. Déterminer les longueurs d’onde des raies qui manquent dans le spectre observé entre 0,40 μm et 0,80 μm. 

Corrigé

1) a- L'intensité s'écrit:

 = I0 + I0 + 2I0cosΦ = 2I0(1 + cosΦ) = 4I0cos2(Φ/2)

avec :

Φ = 2πδ/λ0= 2πp 

b- x5 = 4i = 4λ0D/a = 4λ0/θ = 5,06 mm
c- α = i/d = 5 x 10-3 rad > αœil; les franges sont bien visibles
2) x'5 = 4i' = 4λD/a ; λ = 0,680 μm
3) |p2 - p1|= 1 = δ|1/λ1 - 1/λ2| = p1(λ2 - λ1)/λ2 p1 = 4 et p2 = 3.
4) a- On observe des franges colorées; la frange centrale est blanche
b- Les franges qui manquent sont noires (absence de couleur); soit pour p = δ/λ = k + 1/2 0,4 x 10-6 ≤ λ ≤ 0,8 x 10-6 avec λ = θx/(k + 1/2) On trouve k = 2, 3 et 4 soit trois raies qui manquent.