10-Exercices Michelson

Interféromètre de Michelson 

On éclaire l'interféromètre de Michelson par la raie verte du mercure de longueur d'onde λ 0 = 0,55 μm et d'intensité I0; la séparatrice L S est une lame semi-réfléchissante non absorbante d'épaisseur négligeable. On pose d1 = O O1 et d2 = OO2.

1) L'interféromètre est réglé en lame d'air d'épaisseur e = d 1 - d2 = 1 cm.
a- Montrer que l'on peut observer au voisinage de l'incidence normale, des anneaux localisés dans le plan focale E d'une lentille convergente L de distance focale f = 1 m.
b- On suppose que le centre est brillant, déterminer les rayons des deux premiers anneaux brillants.
c- Déterminer l'expression du rayon d'un anneau sombre si le centre est brillant.
d- Décrire le phénomène observé si l'interféromètre est éclairé en lumière blanche.

2) L'interféromètre est maintenant réglé en coin d'air; d1 = d2, l'image M1' et la surface de M2 font entre elles un angle α = 1'.
a- Décrire le phénomène d'interférence observé.
b- Calculer l'interfrange.

Corrigé 

1) a- Il s'agit d'interférence par division d'amplitude par une lame d'air (n=1) à faces parallèles.
La différence de marche (ddm) est:

δ = 2ecosr = 2ecosi

puisqu'il s'agit d'une lame d'air (n = 1); i étant l'angle d'incidence.
Les franges sont telles que la ddm est constante, soit si i = constante.
Ce sont des franges d'égale inclinaison ou anneaux localisés à l'infini. On les ramène à distance finie dans le plan focale de la lentille L.
b- L'ordre d'interférence en un point d'un anneau est:

p = 2ecosi/λ0 

p peut s'écrire au voisinage de l'incidence normale (i # 0): p = 2e/λ0 + ei2/λ0
Au centre F': p0 = 2e/λ0 = k entier (centre brillant)
L'ordre du premier anneau brillant: p1 = k - 1
L'ordre du deuxième anneau brillant: p2 = k - 2
 L'ordre du mième anneau brillant: pm = k - m
Le rayon d'un anneau d'après la figure:

ρ = fi et i2= (λ0/e)(p0 - p) 

Le rayon du du mième anneau:

ρm = f(λ0/e)1/2(p0 - pm)1/2 = f(λ0/e)1/2m1/2 

A.N: ρ1 = 7,41 mm ; ρ2 = 10,05 mm

c- Cas d'un anneau sombre avec centre brillant: p0 = k
le premier anneau sombre: p1 = k - 1/2 = p0 - 1/2 = p0 - (1 - 1/2)
le deuxième anneau sombre: p2 = k - 1/2 - 1 = p0 - 3/2 = p0 - (2 - 1/2)
le mième anneau sombre: pm = p0 - (m - 1/2)
Soit

p0 - pm = m - 1/2 ρm = f(λ0/e)1/2(p0 - pm)1/2 = f(λ0/e)1/2(m - 1/2)1/2 

d- En lumière blanche, on observe un phénomène irisé; les anneaux étant colorés au voisinage de F', puis un blanc d'ordre supérieur.



2)
a- Dans ce cas l'ordre d'interférence est: δ = 2e Les franges sont d'égale épaisseur. On observe donc des segments de droites parallèles à l'arête de trace O2.

b- L'interfrange est donné par la relation (voir mon cours):

Δx = λ0/2α = 0,94 mm